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Résumé : In this talk, I will give an introduction to a class of model reduction techniques for parametric partial differential equations, the so-called Reduced Basis (RB) method. Parameters can represent geometric configuration, physical properties, boundary conditions or source terms. These techniques are motivated by applications such as design, control or optimization: they provide low-dimensional and hence rapidly computable approximations for the solution. Important aspects are basis generation and certification of the simulation results by suitable a posteriori error control. I will close the presentation with a few of my research developments.

Résumé : In this talk, we provide a method to obtain the renormalised measures in quantum field theory by renormalising the cumulant expansion of the original measures. After reviewing the main ingredients of renormalisation: cumulant expansion, Wick renormalisation, Feynman diagrams, we introduce our approach based on BPHZ renormalisation via multi-indices which are combinatorial objects originating from describing scalar-valued singular SPDEs. To automate the renormalisation procedure, we propose a multi-index counterpart of the Hopf-algebraic program initiated by Connes and Kreimer for the renormalisation of Feynman diagrams. This is a joint work with Yvain Bruned.

Résumé : The period-index conjecture is a fundamental problem concerning the Brauer group of algebraic varieties. For hyper-Kähler varieties, whose (birational) geometry is controlled by the second cohomology, it is expected that a stronger form of this conjecture holds. In this talk, I will present joint work with Daniel Huybrechts that provides new evidence for this expectation.
Following a brief introduction to the problem, I will discuss a proof of a variant of the conjecture where the classical index is replaced by a Hodge-theoretic one. Then, I will explain how to verify the conjecture for most Brauer classes on hyper-Kähler varieties of K3n-type.

Résumé : In the study of PDEs, it is essential to identify the relevant functional space and to know its properties. The two most commonly used types of spaces are Lebesgue spaces and Sobolev spaces. In this talk, I will introduce another class of functional spaces : Besov spaces, with some of their topological properties. Finally, I will present an application to the study of PDEs.

Résumé : La détection et la localisation des modes d'une densité de probabilité (i.e., les points où la densité atteint un maximum local) constituent un problème classique de statistique non paramétrique. L’estimation du mode global, lorsqu’il est unique, en particulier pour les densités unimodales, a longtemps concentré l’attention, conduisant à la fois à la conception d’algorithmes efficaces et à une caractérisation précise des vitesses minimax sous différentes hypothèses sur la densité sous-jacente. Le problème plus général de l’estimation de l’ensemble des modes est plus difficile. Plusieurs approches ont été proposées, notamment les méthodes de type mean-shift, qui donnent des résultats satisfaisants en pratique, mais dont les performances restent peu comprises théoriquement. Dans cette présentation, nous proposerons une alternative fondée sur un outil central de l’analyse topologique des données (TDA) : l’homologie persistante et sa représentation pratique via les diagrammes de persistance. Nous présenterons plusieurs résultats sur la consistance de cette approche, pour de larges classes de densités pouvant admettre des discontinuités (y compris en les modes) ainsi que son optimalité au sens minimax. Au-delà de l’estimation des modes, nous discuterons également du problème de l’estimation des diagrammes de persistance pour de telles densités.

Résumé : String topology studies algebraic structures arising from the interactions of loops and paths on a geometric space. The subject originated in 1999 with work of Chas and Sullivan who discovered that classical Poincaré duality and intersection theory has a rich manifestation on the homology of the free loop space, recovering structures also appearing in mathematical physics such as BV-algebras, TQFTs, and Lie bialgebras. This insight emerged from the broader question: what characterizes the algebraic topology of manifolds? Since then, string topology has developed into a vibrant area, revealing a wealth of new operations describing string interactions, with deep connections to knot theory, symplectic geometry, homotopy theory, homological algebra, and mathematical physics. In this talk, I will survey some developments from the past decade regarding new understanding of the structure and computations in string topology as well as their significance in other fields of mathematics, with focus on operations that capture geometric information beyond the oriented homotopy type of the underlying manifold.

Résumé : The recent development of Machine Learning (ML) and Deep Learning methods, coupled with recent advances in GPU-based computing defined new promising techniques for the numerical resolution of PDEs entirely solved with ML, as well as tuning existing algorithms for learning corrections or discretizations. In this work, we combine finite volume numerical schemes and neural networks to learn the discretization of the spatial derivatives of partial differential equations (PDEs) in order to better resolve the small spatial scales. We use approximate solutions of the 1D and 2D Euler equations obtained on a finer grid for the reference database in order to learn an optimal spatial discretization on a coarse grid, even with discontinuities in the solution. We post-process the outputs of the neural network to propose an interpretable, entropy consistent subgrid-model with super-resolution capabilities within a second-order finite volume solver without violating physical constraints.

Résumé : Le groupoïde de Malgrange est une des généralisations aux équations différentielles non-linéaires du groupe de Galois. Introduite il y a une vingtaine d’années, sa théorie a bien été développée mais son calcul reste hors de portée en général. Dans ce projet, commun avec Guy Casale et Primitivo Acosta-Humanez, nous utilisons un résultat majeur de Casale, dans la suite des travaux de Morales et Ramis : lorsque l’on linéarise une équation différentielle le long d’une solution algébrique, les groupes de Galois des équations linéarisées peuvent se voir comme sous-objets du groupe de Malgrange. Celà nous a permis de donner un critère effectif sur la dimension de ces groupes de Galois différentiels pour déterminer les groupoïdes de Malgrange des équations de Painlevé admettant une solution algébrique. L’exposé s’appuiera sur des exemples où l’on peut dérouler toute la démarche et voir la plupart des calculs “à la main”.

Résumé : We exhibit examples of slope-stable and modular vector bundles on a hyperkähler manifold of K3^[2]-type. These are obtained by performing standard linear algebra constructions on the examples studied by O’Grady of (rigid) modular bundles on the Fano varieties of lines of a general cubic 4-fold and the Debarre-Voisin hyperkähler. Interestingly enough, these constructions are almost never infinitesimally rigid, and more precisely we show how to get (infinitely many) 20 and 40 dimensional families. This is a joint work with Claudio Onorati. Time permitting, I will also present a joint work with Alessandro D'Andrea and Claudio Onorati on a connection between discriminants of vector bundles on smooth and projective varieties and representation theory of GL(n).

Résumé : TBA

Résumé : The trajectory of ocean western boundary currents is crucial in climate simulations, but the contribution of each physical effect to its path, like wind forcing, stratification, rotation, inertia, geometry of the coast, etc. remains an open question. In this presentation, I will introduce a simplified model for oceanic motion close to the Boussinesq equations, which takes into account two effects that are essential for predicting the trajectory of ocean western boundary currents: stratification and topography. We will see how to construct an approximate solution to this system as a superposition of interior terms on the one hand, and boundary layer terms of different natures on the other hand, due to small parameters. We will study how topography and stratification affect the solution and discuss different asymptotics created by small and large parameters.

Résumé : La richesse de la combinatoire des triangulations, et leur lien avec les algèbres amassées, vient en partie de l'existence de "flips". Karin Baur et Raquel Coelho-Simões ont montré qu'il existe un lien profond entre dissections (ou poly-angulations) et certaines algèbres appelées algèbres aimables. L'objectif de cet exposé est d'expliquer ce qu'est le flip d'une dissection, d'après Garver-MacConville et Manneville-Pilaud, et de le catégorifier à l'aide de la théorie des représentations d'algèbres aimables. Il s'agit de travaux en commun avec Arnau Padrol, Vincent Pilaud et Pierre-Guy Plamondon et avec Mikhaïl Gorsky et Hiroyuki Nakaoka.

Résumé : A venir

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Résumé : Résumé : Border bases are a generalization of Gröbner bases for zero-dimensional ideals in polynomial rings. In recent work with Carlos Rodriguez (https://arxiv.org/abs/2510.23411), we introduced border bases for a non-commutative ring of linear differential operators, namely the rational Weyl algebra. We elaborate on their properties and present algorithms to compute with them. We apply this theory to represent integrable connections as cyclic D-modules explicitly. As an application, we visit computations with linear PDEs behind integrals in theoretical physics. We also address the classification of particular D-ideals of a fixed holonomic rank, namely the case of linear PDEs with constant coefficients as well as Frobenius ideals. Our approach rests on the theory of Hilbert schemes of points in affine space.

Résumé : Dans cette présentation, je rappellerai quelques résultats essentiels donnant des critères de compacité dans des espaces fonctionnels fondamentaux. Dans un second temps, nous verrons comment décrire la perte de compacité dans des espaces bien connus des analystes et edpistes, que sont les espaces de Sobolev.

Résumé : A venir

Résumé : TBA

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