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Résumé : The recent development of Machine Learning (ML) and Deep Learning methods, coupled with recent advances in GPU-based computing defined new promising techniques for the numerical resolution of PDEs entirely solved with ML, as well as tuning existing algorithms for learning corrections or discretizations. In this work, we combine finite volume numerical schemes and neural networks to learn the discretization of the spatial derivatives of partial differential equations (PDEs) in order to better resolve the small spatial scales. We use approximate solutions of the 1D and 2D Euler equations obtained on a finer grid for the reference database in order to learn an optimal spatial discretization on a coarse grid, even with discontinuities in the solution. We post-process the outputs of the neural network to propose an interpretable, entropy consistent subgrid-model with super-resolution capabilities within a second-order finite volume solver without violating physical constraints.

Résumé : Dans les années 90 sont apparues deux algèbres de Hopf définies en termes de battage : l'algèbre de Hopf de Malvenuto-Reutenauer sur les permutations et l'algèbres de Hopf de Loday-Ronco sur les arbres binaires. Ces deux familles combinatoires étiquètent les sommets de deux polytopes : le permutoèdre et l'associaèdre. L'extension des produits de battage aux faces de ces polytopes, encodées par les surjections et les arbres plans respectivement est alors une question très naturelle à laquelle Burgunder et Ronco et Loday et Ronco, respectivement, ont répondu. Les permutoèdres et les associaèdres sont deux exemples de familles d'une classe plus grande de polytopes appelés nestoèdres introduite par Postnikov dans les années 2000. Ces polytopes disposent d'une description combinatoire de leurs faces qui permet de les munir d'un produit combinatoire associatif (et même tridendriforme) [D.O.-Curien-Obradovic 2025]. Orthogonalement au point de vue des algèbres figure celui des posets, ou ensembles partiellement ordonnés. Si l'on se restreint aux sommets et arêtes des permutoèdres et des associaèdres (1-squelette), les graphes obtenus sont les diagrammes de Hasse de deux posets classiques en combinatoire : l'ordre de Bruhat faible et l'ordre de Tamari. Carr et Devadoss ont défini un ordre sur les sommets de certain nestoèdres (associaèdres de graphes), étendu par Barnard et McConville aux faces de ces polytopes. Dermenjian, Pilaud et Hohlweg ont par ailleurs proposé un autre ordre sur les faces de certaines généralisations de permutoèdres, appelé ordre faible facial. Pierre-Louis Curien et Guillaume Laplante-Anfossi ont récemment proposé un ordre sur les faces des nestoèdres. Ces deux points de vue se rejoigne de manière surprenante : en 2002, Loday et Ronco ont montré que le produit de battage sur les arbres binaires s'écrit comme une somme sur les éléments d'un intervalle du treillis de Tamari. Il en est de même pour les permutations : le battage des permutations s'écrit comme une somme sur les éléments d'un intervalle de l'ordre de Bruhat faible. Dans un travail en cours avec Pierre-Louis Curien et Jovana Obradovic, nous relions le produit de Curien et Laplante-Anfossi à celui de Barnard et McConville et donnons les conditions qui permettent d'obtenir une formule reliant les éléments d'un intervalle pour cet ordre avec le produit de battage sur les faces de ces polytopes. Après une introduction accessible des deux points de vue, je présenterai nos avancées.

Résumé : Un ensemble à 6 éléments est dans un sens (équivalence de catégories) la même chose qu’un espace vectoriel symplectique de dimension 4 sur ${\bb F}_2$. Dans l’exposé je construirai explicitement cette équivalence et les correspondances qu’elle induit entre objets `géométriques’ d’un côté (sous-ensembles, dyades et synthèmes de Sylvester, l’ensemble dual de Sylvester) et objets de la géométrie symplectique de l’autre (formes quadratiques, Lagrangiens, foliations Lagrangiennes, indice de Maslov/Kashiwara). Je rappellerai les définitions de tous ces objets lors de l’exposé.

Résumé : Le groupoïde de Malgrange est une des généralisations aux équations différentielles non-linéaires du groupe de Galois. Introduite il y a une vingtaine d’années, sa théorie a bien été développée mais son calcul reste hors de portée en général. Dans ce projet, commun avec Guy Casale et Primitivo Acosta-Humanez, nous utilisons un résultat majeur de Casale, dans la suite des travaux de Morales et Ramis : lorsque l’on linéarise une équation différentielle le long d’une solution algébrique, les groupes de Galois des équations linéarisées peuvent se voir comme sous-objets du groupe de Malgrange. Celà nous a permis de donner un critère effectif sur la dimension de ces groupes de Galois différentiels pour déterminer les groupoïdes de Malgrange des équations de Painlevé admettant une solution algébrique. L’exposé s’appuiera sur des exemples où l’on peut dérouler toute la démarche et voir la plupart des calculs “à la main”.

Résumé : We exhibit examples of slope-stable and modular vector bundles on a hyperkähler manifold of K3^[2]-type. These are obtained by performing standard linear algebra constructions on the examples studied by O’Grady of (rigid) modular bundles on the Fano varieties of lines of a general cubic 4-fold and the Debarre-Voisin hyperkähler. Interestingly enough, these constructions are almost never infinitesimally rigid, and more precisely we show how to get (infinitely many) 20 and 40 dimensional families. This is a joint work with Claudio Onorati. Time permitting, I will also present a joint work with Alessandro D'Andrea and Claudio Onorati on a connection between discriminants of vector bundles on smooth and projective varieties and representation theory of GL(n).

Résumé : Hamiltonian mechanics on symplectic manifolds can be seen as a general setting for physical problems in classical mechanics. The goal of this talk is to present this setting and show how Floer homology appears as a natural construction to answer dynamical questions. If the time allows it, we will present an application of this general theory to the research of periodic trajectories on a given energy level.

Résumé : J’expliquerai pourquoi une marche aléatoire sur un espace homogène simple s’équidistribue vers la mesure de Haar avec une vitesse explicite, à condition que la marche ne soit pas piégée dans un ensemble invariant fini et que la loi qui la dirige soit Zariski-dense et à coefficients algébriques. L’argument repose sur un théorème de multislicing qui étend le théorème de projection de Bourgain et présente un intérêt indépendant. Travail commun avec Weikun He.

Résumé : The trajectory of ocean western boundary currents is crucial in climate simulations, but the contribution of each physical effect to its path, like wind forcing, stratification, rotation, inertia, geometry of the coast, etc. remains an open question. In this presentation, I will introduce a simplified model for oceanic motion close to the Boussinesq equations, which takes into account two effects that are essential for predicting the trajectory of ocean western boundary currents: stratification and topography. We will see how to construct an approximate solution to this system as a superposition of interior terms on the one hand, and boundary layer terms of different natures on the other hand, due to small parameters. We will study how topography and stratification affect the solution and discuss different asymptotics created by small and large parameters.

Résumé : La richesse de la combinatoire des triangulations, et leur lien avec les algèbres amassées, vient en partie de l'existence de "flips". Karin Baur et Raquel Coelho-Simões ont montré qu'il existe un lien profond entre dissections (ou poly-angulations) et certaines algèbres appelées algèbres aimables. L'objectif de cet exposé est d'expliquer ce qu'est le flip d'une dissection, d'après Garver-MacConville et Manneville-Pilaud, et de le catégorifier à l'aide de la théorie des représentations d'algèbres aimables. Il s'agit de travaux en commun avec Arnau Padrol, Vincent Pilaud et Pierre-Guy Plamondon et avec Mikhaïl Gorsky et Hiroyuki Nakaoka.

Résumé : Extreme meteorological events often occur in complex temporal configurations, where the impacts of one hazard may depend on the prior occurrence of others. Characterising such temporal dependencies is essential for understanding compound climate risks, yet remains challenging due to the discrete, heterogeneous, and clustered nature of extreme events. In this study, we apply temporal point process methods to characterise dependencies among extreme meteorological events occurring within appropriately defined spatial regions across Europe, focusing exclusively on their temporal structure. We introduce an event-based framework in which extreme events are represented as marked temporal point processes, with marks describing key characteristics such as intensity or duration. Global first- and second-order temporal statistics are used to quantify clustering, co-occurrence, and directional dependencies between different types of extremes. In particular, we rely on directional cross-$K$ functions to assess whether the occurrence of one type of extreme event systematically modifies the short-term probability of subsequent events of another type. Two complementary applications illustrate different facets of compound event analysis. First, we demonstrate the relevance of the framework for preconditioned compound events through a temporal analysis of wildfire-related meteorological extremes. Second, we examine temporal dependence between extreme precipitation, extreme wind, and extreme atmospheric instability across all European NUTS-2 regions. Building on these second-order statistics, we develop formal tests of temporal independence to assess the significance of observed directional interactions between different types of extreme events. Overall, this temporal point process framework provides a rigorous and interpretable approach to the analysis of compound and preconditioned climate extremes, with direct applications to climate risk assessment and early-warning systems.

Résumé : This paper develops a general approach for deep learning for a setting that includes nonparametric regression and classification. We perform a framework from a data that fulfills a generalized Bernstein-type inequality, including, independent, ϕ-mixing, strongly mixing, C-mixing observations. Two estimators are proposed: a non-penalized deep neural network estimator (NPDNN) and a sparse-penalized deep neural network estimator (SPDNN). For each of these estimators, bounds of the expected excess risk on the class of Hölder smooth functions and composition Hölder functions are established. Applications to independent data, as well as to ϕ-mixing, strongly mixing, C-mixing processes are considered. For each of theses examples, the upper bounds of the expected excess risk of the proposed NPDNN and SPDNN predictors are derived. It is shown that, both the NPDNN and SPDNN estimators are minimax optimal (up to a logarithmic factor) in many classical settings.

Résumé : Résumé : Border bases are a generalization of Gröbner bases for zero-dimensional ideals in polynomial rings. In recent work with Carlos Rodriguez (https://arxiv.org/abs/2510.23411), we introduced border bases for a non-commutative ring of linear differential operators, namely the rational Weyl algebra. We elaborate on their properties and present algorithms to compute with them. We apply this theory to represent integrable connections as cyclic D-modules explicitly. As an application, we visit computations with linear PDEs behind integrals in theoretical physics. We also address the classification of particular D-ideals of a fixed holonomic rank, namely the case of linear PDEs with constant coefficients as well as Frobenius ideals. Our approach rests on the theory of Hilbert schemes of points in affine space.

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Résumé : Dans cette présentation, je rappellerai quelques résultats essentiels donnant des critères de compacité dans des espaces fonctionnels fondamentaux. Dans un second temps, nous verrons comment décrire la perte de compacité dans des espaces bien connus des analystes et edpistes, que sont les espaces de Sobolev.

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Résumé : Dans cet exposé, je vous propose de partir à la découverte du jeu de Hex, un jeu de plateau à cases hexagonales pour 2 joueurs, dont la richesse mathématique n’a d’égale que sa simplicité. La première apparition du jeu de Hex revient à Piet Hein en 1942, puis il sera redécouvert de manière indépendante en 1948 par John Nash, qui en étudiera la mathématique. Après avoir présenté les règles, nous répondrons à plusieurs questions : Existe-t-il une stratégie gagnante ? Si oui, pour quel joueur ? Peut-il y avoir égalité ? Existe-t-il une configuration où les deux joueurs sont gagnants en même temps ? Toutes ces réponses nous permettront de nous servir du jeu pour démontrer un célèbre théorème de topologie : le théorème de Brouwer.

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