Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : TBA

Résumé : Résumé: Le problème de conditionner un processus de branchement à la non-extinction est un thème classique de la théorie des branchements. Le processus conditionné fait apparaître un terme d'immigration, souvent interprété comme la lignée d'un individu immortel. Lorsqu'un terme de compétition est ajouté à la dynamique, la propriété de branchement est brisée et toute la structure classique qui en découle est mise à mal. L'objectif de cet exposé est de présenter une méthode explicite pour conditionner les processus de branchement avec compétition quadratique (on dit aussi branchement logistique, Lambert 2005). L'étude repose sur des arguments de dualités avec des diffusions uni-dimensionnelles (pour lesquelles les conditionnements sont bien manipulables) ainsi que sur le fait qu’une population s’éteignant asymptotiquement a une progéniture totale finie. Le conditionnement est alors défini en forçant la progéniture à dépasser des variables aléatoires exponentielles arbitrairement grandes. Le processus ainsi obtenu peut être relié au processus initial par une h-transformée de Doob explicite, à partir de laquelle découle l’équation stochastique à sauts correspondante. Un terme d’immigration dépendant de la taille s’ajoute alors à la dynamique de branchement avec compétition. Ce travail est réalisé en collaboration avec Anita Winter et Victor Rivero.

Résumé : We present three different contributions: - Through a detailed analysis of the training dynamics of Physics-Informed Neural Networks (PINNs) under the Natural Gradient, we introduce the Natural Neural Tangent Kernel (NNTK). This concept allows us to define the empirical tangent space and the empirical natural gradient, leading to the ANaGRAM algorithm, which scales as O(min(PS², SP²)), where P is the number of parameters and S the number of samples. We also establish a formal connection between the natural gradient of PINNs and Green’s function theory. - Building on an in-depth empirical analysis of ANaGRAM’s training dynamics, we propose an adaptive cutoff regularization scheme, denoted AMStraMGRAM. This strategy automatically adjusts the regularization during training, improving the performance of ANaGRAM up to machine precision on simple benchmarks. Furthermore, it extends the theoretical connection with Green’s function theory by formally relating it to regularization. - From a more theoretical standpoint, we leverage the theory of Hilbert Riggings to introduce a unifying framework based on the NNTK, encompassing both Galerkin methods and PINNs. As a consequence, we show that strong and weak formulations can be viewed within the same least-squares framework, differing only by the underlying metric, thereby deepening the connection to Green’s functions.

Résumé : Résumé : Partant des travaux pionniers de Beilinson et Kapranov, les catégories dérivées des faisceaux cohérents sur les variétés homogènes G/P ont attiré beaucoup d'attention au cours des dernières décennies. Nous commencerons par une introduction à ce domaine, puis nous discuterons des développements plus récents liés aux collections exceptionnelles de Lefschetz, à la cohomologie quantique et à la symétrie miroir homologique.

Résumé : Résumé : Les catégories monoïdales linéaires sont omniprésentes dans les mathématiques modernes ; en théorie des représentations et en topologie de basse dimension, on les appellent souvent algèbres diagrammatiques. Comme toujours lorsqu'on rencontre une nouvelle structure algébrique, on peut se demander comment résoudre le problème du mot : étant donné une présentation, comment déterminer si deux « composés » en les générateurs sont identiques sous les relations données ? Cela sous-tend de nombreuses questions ultérieures, telles que la classification ou les propriétés homologiques. En algèbre “classique”, le problème du mot est si bien compris que l’on peut écrire des logiciels pour le résoudre. Dans cet exposé, j’esquisserai des techniques pour résoudre le problème du mot dans les algèbres diagrammatiques. J’en donnerai une application à la catégorification (en relation avec l'homologie de Khovanov en théorie des nœuds) et, dans des travaux en cours avec Sigiswald Barbier, à diverses variantes de la catégorie de Brauer affine. Les techniques sont basées sur la théorie de la réécriture, même si les algèbres diagrammatiques obligent à y porter un regard neuf. Si le temps le permet, je discuterai les directions futures.

Résumé : La stabilisation frontière des membranes, plaques et corps vibrants est un problème de grande importance pour les ingénieurs et les mathématiciens appliquées, initié par David L. Russell dans les années 1970.

Grâce à la méthode des multiplicateurs, développée par L. F. Ho et Jacques-Louis Lions dans les années 1980, des résultats profonds peuvent être obtenus par une approche élégante, facilement accessibles aussi aux non-spécialistes.

Notre exposé est aussi un hommage à David L. Russell, un mathématicien distingué et une personne extrêmement humaine, disparu il y a dix ans.