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Résumé : Étant donné une surface fermée S de genre au moins 2 et un entier d>2, l'espace de Teichmüller T(S) de S se plonge dans l'espace des représentations du groupe fondamental de S dans PSL(d,R), modulo conjugaison, en postcomposant par la représentation irréductible de PSL(2,R) dans PSL(d,R). La composante connexe de T(S) dans cet espace est la composante de Hitchin H(S). Il y a quelques années, Bridgeman, Canary, Labourie et Sambarino ont construit sur H(S) plusieurs métriques dites de pression qui étendent la métrique de Weil--Petersson sur T(S). Leur construction s'inspire d'une caractérisation de la métrique de Weil--Petersson en termes de longueurs de courbes due à Thurston et Wolpert. Nous allons décrire les métriques de pression sur certains sous-espaces de H(S) transverses à T(S), qui consistent en des déformations de points de T(S) par une procédure dite de pliage, ou greffage. Cela nous permettra de montrer que T(S) est distordu dans H(S), au sens où il existe une suite de points dans T(S) dont la distance à l'origine diverge pour Weil--Petersson, mais reste bornée pour la métrique de pression.

Résumé : Un monoïde est un ensemble muni d'une loi interne associative avec élément neutre. J'expliquerai le reste du titre et je dirai comment on peut étendre aux monoïdes fortement sofiques le théorème de Gromov-Weiss sur la surjonctivité des groupes sofiques. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Tullio Ceccherini-Silberstein et Xuan Kien Phung.

Résumé : On considère un marcheur sur une ligne et qui, à chaque pas, garde la même direction avec une probabilité qui dépend du temps déjà passé dans la direction dans laquelle il marche. Ces marches avec des mémoires de longueur variable peuvent être vues comme des généralisations des marches aléatoires renforcées de manière directionnelle (DRRWs) introduites par Mauldin et al. Dans cet exposé, on s'intéressera à des critères de récurrence/transience de ces marches. Ces conditions sont liées à des conditions nécessaires et suffisantes d'existence et d'unicité de mesure de probabilité stationnaire pour une chaîne de Markov particulière. On définira le modèle général des chaînes de Markov à mémoire variable, les marches persistantes puis nous introduirons une structure combinatoire clé pour déterminer des mesures de probabilités invariantes. Enfin, nous verrons comment ces marches et ces chaînes de Markov se rencontrent à travers le monde des chaînes semi-markoviennes. Les travaux décrits dans cet exposé sont le fruit de plusieurs collaboration avec B. Chauvin, F. Paccaut et N. Pouyanne ou B. de Loynes, A. Le Ny et Y. Offret et A. Rousselle.

Résumé : Generalized cluster mutations allowing polynomial exchange relations beyond binomials. Chekhov and Shapiro conjectured that generalized cluster variables exhibit positive coefficients in their Laurent expansions, extending the well-known positivity property of classical cluster algebras. Utilizing the framework of scattering diagrams, we reduce this conjecture to verifying the positivity of wall-crossing functions in rank 2. By demonstrating that each coefficient of these wall-crossing functions enumerates specific combinatorial objects, we establish their positivity, which consequently provides an affirmative resolution to Chekhov-Shapiro's conjecture. This is joint work with Amanda Burcroff and Kyungyong Lee.

Résumé : Les groupes de tresses, bien que formés d'objets géométriques simples, ont une structure très riche. Ils jouent un rôle important dans diverses branches des mathématiques et de physique théorique. Ils ont été introduits par Emil Artin dans les années 1920. Au cours de l’exposé je présenterai les résultats les plus marquants qui ont jalonné leur existence centenaire.