Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : The objective of this talk is the study of a fractional nonlinear diffusion equation posed on a bounded domain. This equation is a variant of the porous medium equation or the fast diffusion equation, where the Laplacian is replaced by a fractional Laplacian. In the porous medium case, solutions to this equation exhibit algebraic decay, whereas in the fast diffusion case, they undergo an extinction phenomenon: after a certain time, the solutions become uniformly zero.

Based on these estimates, we will study the large-time behavior of solutions and, in particular, show their convergence to separable variable solutions as time tends to infinity in the porous medium case or to the extinction time in the fast diffusion case. However, the extinction time is not analytically known, and to compute it, we will introduce a numerical scheme that preserves the qualitative properties of the continuous equation, namely algebraic decay and extinction. This scheme will allow us to numerically determine the rate of convergence to separable variable solutions, a question recently solved for the non-fractional fast diffusion case but still open in the fractional setting.

Résumé : Résumé : En 2019, Kashuba et Mathieu ont proposé une conjecture très élégante sur l'homologie de certaines algèbres de Lie ; si vraie, cette conjecture donnerait de nouvelles informations sur les algèbres de Jordan libres. Motivé par cette conjecture, en 2023 Shang a proposé un analogue de cette conjecture pour une autre structure algébrique célèbre : les algèbres alternatives. Dans cette exposé je vais donner une introduction à deux conjectures, et j'expliquerai pourquoi ces deux conjectures sont fausses. Les algèbres libres pour les deux classes d'algèbres concernées (Jordan et alternatives) restent donc très mystérieuses.

Résumé : Nous étudions le spectre logarithmique des sous-groupes discrets de
SL(n,R). Spécifiquement, nous étudions les comportements extrémaux
(plutôt que "statistiquement prédominants") parmi les éléments d'un tel
groupe, dans un esprit proche de l'optimisation ergodique. Le thème
central est que ces éléments extrémaux sont assez spéciaux, un peu à la
manière des courbes simples et laminations géodésiques qui jouent un
rôle dans l'étude par Thurston de la métrique de Lipschitz sur les
espaces de Teichmüller.
Travail commun avec J.Danciger et F.Kassel.