Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : (Contient du travail en collaboration avec Dominic Breit) Cet exposé présente des espaces de fonctions « standards » adaptés à l'étude globale d'EDP paraboliques et elliptiques sur des domaines bornés ou non. Ces espaces de fonctions dits homogènes mesure seulement les dérivées de la fonction dans des espaces $\mathrm{L}^p$ sans mesurer la fonction elle même et apparaissent très naturellement dans l'étude des problèmes fondamentaux des EDPs. Contrairement aux approches classiques qui quotientent les distributions par les polynômes - ce qui entrave l'étude des traces et des produits - nous développons une construction initiée sur l'espace entier par Bahouri, Chemin et Danchin. Bien que cette méthode entraîne une perte structurelle de complétude pour les hauts indices de régularité, l'analyse "classique" des espaces de fonctions reste valable en distinguant des comportements "hautes et basses fréquences". Nous appliquerons ce cadre à des problèmes linéaires issus de la géométrie et/ou de la mécanique des fluides sur domaines à bords peu réguliers (Laplacien de Hodge, opérateurs de Dirac ou de Stokes). En effet, la réduction par localisation et redressement sur le demi-espace plat y fait naturellement intervenir les espaces homogènes, révélant au passage des lacunes dans la littérature classique sur la régularité elliptique, même en géométrie lisse.