Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : Anosov geodesic flows have been the model to study several dynamical dynamical properties and to develop techniques to approach question arising from ergodic theory. There are several possibilities to generalize the Anosov setting, for example rank 1 Riemannian metrics and Riemannian metrics with no conjugate points, and one of the most frequent questions is "can you still get the same, at some extend, dynamical and ergodic properties". In a recent joint work with Luis Piñeyrúa and Sergio Romaña we propose the approach via partially hyperbolic systems. In this talk, I am going to present some of the Anosov geodesic flows properties that we are able to extend to some non-Anosov geodesic flows.

Résumé : I will survey motivational questions and guiding topics that surround the interrelated themes of extremal rays, positivity for line bundles and Diophantine approximation. Only limited background will be assumed. Time permitting, I will indicate selected recent results and ongoing work.

Résumé : Les cascades multiplicatives sont des mesures fractales aléatoires introduites par Mandelbrot pour modéliser les phénomènes de turbulence. Ces mesures sont paramétrées par une variable aléatoire positive W et par un entier r, et sont définies sur la frontière de l'arbre r-aire. Dans cet exposé, nous nous intéresserons au comportement limite de la cascade lorsque r tend vers l'infini, et en particulier aux grandes déviations. Quand la queue de W est légère (à décroissance surexponentielle), les déviations s'expliquent par des déviations dans le premier niveau de l'arbre. Ce n'est plus le cas lorsque W a une queue plus lourde ((sous-)exponentielle) : les déviations s'expliquent alors par des déviations le long d'une épine de longueur finie dans l'arbre et la fonction de taux s'obtient par récurrence.

Résumé : Résumé : Un objet d'étude classique en topologie algébrique est l'adjonction bar-cobar entre algèbres et cogèbres, reflet de celle liant espaces classifiants et espaces de lacets. Cette dualité a été regroupée avec d'autres variantes sous l’appellation "dualité de Koszul" et généralisée ultérieurement dans un cadre opéradique. Elle joue un rôle fondamental dans la construction d’invariants topologiques, de résolutions, ou l’étude infinitésimale des problèmes de déformations. Une approche différente et bien plus récente de Lurie et Ayala-Francis implémente une forme de dualité pour les En-algèbres (algèbres sur les opérades des petits disques, issues de la topologie des espaces de lacets) dans un cadre purement infini-catégorique. C’est le cadre naturel de l'homologie de factorisation, qui permet « d'intégrer » une En-algèbre sur une variété pour produire des invariants topologiques de l’une et de l’autre. Ces deux formes de dualité de Koszul sont pourtant incompatibles à première vue : les foncteurs ne sont pas adjoints dans le même sens, les catégories de cogèbres considérées ne sont pas homotopiquement équivalentes. Peut-on tout de même les comparer ? J’exposerai mes travaux en collaboration avec Dan Petersen et Victor Roca i Lucio, dans lesquels nous apportons des réponses précises à cette question. J’évoquerai, si le temps le permet, quelques applications à l’étude du type d’homotopie p-adique des espaces nilpotents, des algèbres enveloppantes supérieures et de la géométrie de Poisson dérivée.

Résumé : Abstract : Observability inequalities for the heat equation exhibit an exponential cost at small times. Is this exponential behavior an artefact of the usual Carleman and spectral methods, or is it forced by the underlying geometry? We show that it is genuinely geometric: any weighted observability inequality must satisfy an exponential decay rate controlled by the maximal distance to the observation set. As a consequence, we answer an open question raised by Ervedoza and Zuazua concerning geometric lower bounds on the exponential rate appearing in infinite-time integrated observability inequalities for heat equations. Our results are established in a general geometric metric-measure setting and apply, in particular, to Riemannian manifolds, Schrödinger operators, sub-Riemannian manifolds, and Laplacians on metric graphs.

Résumé : Je présenterai la dérivation des équations de Boltzmann pour des sphères dures et j’expliquerai le résultat obtenu par Yu Deng.