Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : L’idée de correspondance entre bosons et fermions provient de la « mer de Dirac », qui visait à expliquer comment interpréter les énergies négatives de l’électron. Mathématiquement, elle établit une correspondance entre les algèbres symétrique et extérieure, et peut être utilisée en combinatoire, en équations différentielles et éventuellement en arithmétique. Nous discuterons en particulier son application au calcul de produits infinis, ainsi que de la manière de transformer la règle de Cramer en EDP intégrables.

Résumé : Abstract: We study the exponentially small singular values of the semiclassical d-bar operator on an exponentially weighted L^2 space on a two-dimensional torus. We will assume that the Laplacian of the exponential weight changes sign along a curve. We will introduce the notion of upper and lower bound weights which give together with the orthogonal Bergman projection precise upper and lower bounds on the number of small singular values. Solving a free boundary value problem we obtain optimal weights which yield Weyl asymptotics for the counting function of exponentially small singular values. We also provide a precise description of the leading term of the Weyl asymptotics in the regime of small exponential decay rates of the singular values. This talk is based on joint work with J. Söstrand and M. Hitrik.

Résumé : Starting with Drinfeld and Bhatt--Lurie’s construction of a stack computing prismatic cohomology, such stacky approaches to p-adic cohomology theories have received increasing attention in recent years. In this talk, I will describe a stack computing syntomic cohomology of rigid-analytic spaces with rational coefficients, mainly focusing the geometry of this stack and how it naturally sees various structures well-known in p-adic Hodge theory. Time permitting, I will also discuss an application to a conjecture of Clausen about analytic syntomic cohomology of C_p.

Résumé : L'une des méthodes couramment utilisée pour résoudre des EDP est la méthode des différences finies.
L'idée de celle-ci est de reformuler l'opérateur differentiel par un équivalent discret.
Nous verrons ensemble comment la méthode structurelle étend les méthodes de différences finies et les avantages et limitations de celle ci.

Résumé : Il existe une série de vieilles conjectures attribuées à Kaplansky portant sur les anneaux de groupe. Par exemple, la conjecture des diviseurs de zéro prédit que dans l'anneau d'un groupe sans torsion sur un corps il n'y a pas de diviseur de zéro. Ces conjectures, simples à formuler, relient à des questions profondes, comme l'existence d'un groupe non sofique et les conjectures de Baum--Connes et de Farrell--Jones. Dans cet exposé, je discuterai de ces conjectures et ma réfutation de la conjecture des unités de Kaplansky.