Institut de recherche mathématique avancée

Résumé : TBA

Résumé : We present three different contributions: - Through a detailed analysis of the training dynamics of Physics-Informed Neural Networks (PINNs) under the Natural Gradient, we introduce the Natural Neural Tangent Kernel (NNTK). This concept allows us to define the empirical tangent space and the empirical natural gradient, leading to the ANaGRAM algorithm, which scales as O(min(PS², SP²)), where P is the number of parameters and S the number of samples. We also establish a formal connection between the natural gradient of PINNs and Green’s function theory. - Building on an in-depth empirical analysis of ANaGRAM’s training dynamics, we propose an adaptive cutoff regularization scheme, denoted AMStraMGRAM. This strategy automatically adjusts the regularization during training, improving the performance of ANaGRAM up to machine precision on simple benchmarks. Furthermore, it extends the theoretical connection with Green’s function theory by formally relating it to regularization. - From a more theoretical standpoint, we leverage the theory of Hilbert Riggings to introduce a unifying framework based on the NNTK, encompassing both Galerkin methods and PINNs. As a consequence, we show that strong and weak formulations can be viewed within the same least-squares framework, differing only by the underlying metric, thereby deepening the connection to Green’s functions.

Résumé : Résumé : Partant des travaux pionniers de Beilinson et Kapranov, les catégories dérivées des faisceaux cohérents sur les variétés homogènes G/P ont attiré beaucoup d'attention au cours des dernières décennies. Nous commencerons par une introduction à ce domaine, puis nous discuterons des développements plus récents liés aux collections exceptionnelles de Lefschetz, à la cohomologie quantique et à la symétrie miroir homologique.

Résumé : La stabilisation frontière des membranes, plaques et corps vibrants est un problème de grande importance pour les ingénieurs et les mathématiciens appliquées, initié par David L. Russell dans les années 1970.

Grâce à la méthode des multiplicateurs, développée par L. F. Ho et Jacques-Louis Lions dans les années 1980, des résultats profonds peuvent être obtenus par une approche élégante, facilement accessibles aussi aux non-spécialistes.

Notre exposé est aussi un hommage à David L. Russell, un mathématicien distingué et une personne extrêmement humaine, disparu il y a dix ans.