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Du 30 mai au 2 juin 2023


The Mid-term workshop of the ANR HighAGT will take place in Strasbourg from 30. May to 2. June.

This project is a program of fundamental research in Mathematics, more precisely in Algebra, Geometry, and Topology.

Organizing committee : Vladimir Dotsenko (IRMA)

Speakers :

  • Joan Bellier-Millès
  • Ricardo Campos
  • Joana Cirici
  • Clément Dupont
  • Coline Emprin
  • Benjamin Enriquez
  • Lander Hermans
  • Geoffroy Horel
  • Paul Laubie
  • Anibal Medina-Mardones
  • Sergei Merkulov
  • Andy Tonks
  • Bruno Vallette
  • Khalef Yaddaden

Venue : Salle de conférences IRMA

For more details, see the official website here.

  • Mardi 30 mai 2023

  • 14:00

    Sergei Merkulov, Université du Luxembourg

    On the interrelations between graph complexes

    Résumé : We study Maxim Kontsevich's graph complex as well as its oriented and targeted versions, and show a new proof of the theorems due to Thomas Willwacher and Marko Zivkovic stating isomorphisms of their cohomology groups. Both theorems follow from one and the same surprisingly short argument.
  • 15:30

    Andrew Tonks, University of Malaga

    Canonical B∞-algebra structures and a new Milnor-Moore type theorem

    Résumé : The motivating example of a B∞-algebra was given by Baues in his work on iterated loop spaces, when he endowed the bar construction (a free coalgebra) with a compatible differential graded algebra structure. Another famous example is the B∞ structure on the Hochschild cochain complex: the relation of B∞ and G∞ algebras was central in the resolutions of Deligne's Hochschild cohomology conjecture. We present work in progress (joint with M I Gálvez and M O Ronco) investigating the appearance of canonical B∞-algebra structures on any algebra endowed with a not-necessarily compatible dga structure, recovering previous results by Markl on A∞-algebras and by Loday-Ronco on multibrace algebras. Application to a new Milnor-Moore type theorem will then be given, extending the results of Loday-Ronco for non-cocommutative Hopf algebras and their relation to multibrace algebras.
  • 16:30

    Lander Hermans, University of Antwerp

    Deforming prestacks: an operadic calculus of rectangles

    Résumé : In his foundational work Gerstenhaber furnishes the guiding example for algebraic deformation theory: for an associative algebra A he defined a dgLie bracket on its Hochschild complex and showed that it controls the deformations of A through the Maurer-Cartan equation. Algebraic geometry motivates the natural question whether a similar story exists for diagrams of associative algebras, e.g. when applied to the structure sheaf of a scheme. In this talk I will explain how the Gerstenhaber-Schack complex fulfils this role, yet also motivates to generalize from diagrams to prestacks (i.e. pseudofunctors) as the most suitable objects to start with. Inspired by the fact that the Lie-structure of the Hochschild complex arises from an underlying operadic calculus, we introduce a new L-infinity structure arising from a rectangular operadic calculus. We show it completes the story: the higher Lie brackets on the GS complex control the deformations of prestacks through the generalized MC equation. Along the way, we introduce a new type of operad which can be seen as an enriched version of Leinster’s fc-multicategories (also called virtual double categories). This is joint work with Hoang Dinh Van and Wendy Lowen.
  • Mercredi 31 mai 2023

  • 09:30

    Clément Dupont, Université de Montpellier

    Operadic posets and their cohomology

    Résumé : We will describe a natural formalism which produces a graded operad from a family of posets equipped with an `operadic structure’. It gives an a priori explanation for the fact that the cohomology of posets of partitions has an operadic structure, in the spirit of work of B. Fresse (generalized by B. Vallette to the case of decorated partitions). Another application of our formalism concerns the family of hypertree posets, whose cohomology has the same underlying S-module as the PreLie operad thanks to a result of B. Delcroix-Oger. We will give a conceptual explanation of this fact, which will shed light on a richer structure and an unexpected character: the PostLie operad introduced by B. Vallette. This is joint work with Bérénice Delcroix-Oger.
  • 11:00

    Coline Empin, Université Sorbonne Paris Nord

    Classes de Kaledin et critères de formalité

    Résumé : Une structure d'algèbre différentielle graduée A (e.g. une algèbre associative, une algèbre de Lie, une opérade, etc.) est formelle si elle est reliée à son homologie H(A) par un zig-zag de quasi-isomorphismes préservant le type de structure algébrique. Les classes de Kaledin ont été introduites comme une théorie de l'obstruction caractérisant entièrement la formalité des algèbres associatives sur un corps de caractéristique nulle. Dans cet exposé, je présenterai une généralisation des classes de Kaledin à n'importe quel anneau de coefficients, mais également à d'autres structures algébriques (encodées par des opérades, éventuellement colorées, ou par des propérades). Je démontrerai de nouveaux critères de formalité basés sur ces classes et en donnerai des applications.
  • 14:00

    Bruno Vallette, Université Sorbonne Paris Nord

    Du calcul opéradique au calcul propéradique

    Résumé : Le calcul opéradique a donné naissance à de nombreux résultats et outils qui se sont montrés utiles dans l’études des algèbres différentielles graduées : théorie de la déformation, algèbre homotopique et formalité. La généralisation au niveau des propérades et de leurs (bi)gèbres différentielles graduées n’est pas automatique. Depuis l’introduction de la notion de propérade (Université de Strasbourg, 2003), très peu de résultats ont été montrés dans cette direction. J’expliquerai néanmoins comment on peut établir le même type de théorèmes à ce niveau : infini-morphismes, description du groupe de jauge, équivalence infini-quasi-isomorphismes/zigzag de quasi-isomorphismes, enrichissement simplicial des (bi)gèbres à homotopie près.
  • 15:30

    Ricardo Campos, Université de Toulouse

    The embedding of commutative homotopical algebra into non-commutative homotopical algebra

    Résumé : Given a topological space, how much of its homotopy type is captured by its algebra of singular cochains? The experienced rational homotopy theorist will argue that one should consider instead a commutative algebra of forms. This raises the more algebraic question of studying the homotopical properties of the forgetful functor from dg commutative algebras to dg associative algebras. This question turns out to be very subtle. For instance, unlike its classical counterpart, this functor is not full at the homotopical level. In this talk I will show that in characteristic zero this functor deserves to be called an embedding. We will see that this result uses tools very much on the topics of our ANR, namely, it is in its essence a result in derived deformation theory which is naturally addressed with tools from higher (curved) Lie theory. This joint work with Dan Petersen, Daniel Robert-Nicoud and Felix Wierstra; based on arXiv:1904.03585 and 2211.02387.
  • 16:30

    Joan Bellier-Millès, Université de Toulouse

    On the road to the André-Quillen cohomology of curved algebras

    We will begin this talk by presenting two contexts involving curved algebras. The first one concerns symplectic geometry and the second one concerns complex geometry. In these two contexts, we are dealing with homotopy curved algebraic structures and we will present the related operadic calculus. Finally, we will explain the ideas that allow us to define a cohomology in these contexts.
  • Jeudi 1 juin 2023

  • 09:30

    Geoffroy Horel, Université Sorbonne Paris Nord

    Binomial rings and homotopy theory

    Résumé : In a famous paper, Sullivan showed that the rational homotopy theory of finite type nilpotent spaces can be encoded in a fully faithful manner by mapping it to the homotopy category of commutative differential graded algebras over the rational numbers. For integral homotopy theory, a result of Mandell shows that it is faithfully captured by the integral cochain functor equipped with its E-infinity structure. This functor is however not full. I will explain a way of fixing this problem inspired by work of Toën, using cosimplicial binomial rings instead of E-infinity differential graded algebras.
  • 11:00

    Joana Cirici, University of Barcelona

    Formality of hypercommutative algebras of Calabi-Yau manifolds

    Résumé : Any Batalin-Vilkovisky algebra with a homotopy trivialization of the BV-operator gives rise to a hypercommutative algebra structure at the cochain level which, in general, contains more homotopical information than the hypercommutative algebra introduced by Barannikov and Kontsevich on cohomology. In this talk, I will explain how to use the purity of mixed Hodge structures to show that the canonical hypercommutative algebra defined on any compact Calabi-Yau manifold is formal. This is joint work with Geoffroy Horel.
  • 14:00

    Anibal Medina-Mardones, Université Sorbonne Paris Nord

    State sums and higher categories

    Résumé : Topological quantum field theories can be constructed at least in two ways: as higher functors from the bordism category, in line with the cobordism hypothesis, or in terms of fields combined with an action functional, a technique widely used in the physics literature. The goal of this talk is to discuss a bridge between these descriptions using methods from combinatorial topology. This is joint work in progress with Lukas Müller.
  • Vendredi 2 juin 2023

  • 09:30

    Paul Laubie, Université de Strasbourg

    Combinatorics of pre-Lie products sharing the Lie bracket

    Résumé :Pre-Lie products sharing the Lie bracket are controlled by the D^nPreLie operad, the coproduct of n copies of PreLie in the category of operads over Lie. From a first inspection on the dimension of D^2PreLie, one may find that it is related to the so called Greg trees. We generalize the Greg trees by labelling their black vertices by a coalgebra, then put an operadic structure on them. Those operads are binary, quadratic, Koszul and have the Nielsen-Schreier property.
  • 11:00

    Khalef Yaddaden, Université de Strasbourg

    Torseur de double mélange de multizêtas cyclotomiques et stabilisateurs de coproduits de Rham et Betti

    Résumé : Racinet décrit les relations de double mélange et régularisation entre valeurs polylogarithmes multiples aux racines de l'unité via un Q-schéma DMRι où ι: G → C× est un plongement de groupe d'un groupe cyclique fini G dans C×. Ensuite, Enriquez et Furusho montrent, dans le cas G={1}, qu'un sous-schéma DMRι× est un torseur d'isomorphismes entre objets Betti et de Rham. Dans cet exposé, on établit une généralisation de ce résultat en version cyclotomique. On commencera par expliciter la structure de torseur de DMRι× puis on introduira dans ce contexte les objets de Rham et Betti adéquats : les premiers sont issus d'une algèbre produit croisé et permettent une reformulation du coproduit harmonique de Racinet plus proche du formalisme introduit par Enriquez et Furusho; quant aux les seconds, ils sont issus d'une algèbre de groupe du groupe fondamental orbifold C×\ μ|G| / μ|G| où μ|G| désigne le groupe des racines |G|-ièmes de l'unité. Enfin, on démontrera, au sein du formalisme Betti, l'existence de deux coproduits de coalgèbre et d'algèbre de Hopf tels que DMRι× est un torseur des isomorphismes reliant ces coproduits Betti aux coproduits de Rham.
  • 14:00

    Benjamin Enriquez, Université de Strasbourg

    Sur les liens entre homologie singulière relative et quotients nilpotents du groupe fondamental des espaces topologiques

    Pour X une variété, a,b deux points et n≥0 un entier, on sait, en utilisant des techniques de cohomologie de faisceaux, établir un isomorphisme entre (a) le dual du n+1-ième quotient correspondant à la suite centrale descendante du Q-espace vectoriel construit sur le torseur π1(X;a,b), et (b) le n-ième groupe de cohomologie relative du couple formé par Xn et une sous-variété Y(n)a,b construite à partir de a,b et des diagonales consécutives (Beilinson, rédigé par Deligne et Goncharov, puis avec tous les détails par Burgos Gil et Fresan). Nous montrons comment construire, dans le cas où X est un espace topologique, un morphisme de groupes abéliens entre (a) le n+1-ième quotient du Z-module libre construit sur π1(X;a,b), et (b) le n-ième groupe d'homologie relative du couple (Xn,Y(n)a,b) , morphisme dont le tensorisé par Q est celui décrit ci-dessus. La construction repose sur l'étude combinatoire d'opérations de "division" dans les complexes de chaînes. (Travail commun avec Florence Lecomte.)